Kurzanleitung zum Programm

Fraktale Bilder

(Zur Besseren Betrachtung mit einem Browser die Datei Fraktale.htm öffnen)

Autor: David Komma  (david.komma@t-online.de)
Version: 3. Januar 2005

Inhalt

Menus

Fraktale	Auswahl eines Algorithmus und vorgegebener Parameter
	Juliamenge	Juliamenge der Stelle (jx | jy ) für x = -2...1 und y = -1.5...1.5
	Mandelbrotmenge	Mandelbrotmenge für x = -2...1 und y = -1.5...1.5
	Ahornblatt
	Farn
	Kochsche Kurve
	Sierpinski

Graphische Oberfläche

Los geht's

Beim ersten Chaos-Spiel "Ahornblatt":

• Fraktale Parameter - Gewichte: Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein Punkt der Ebene mit der Transformation 1,2,3 oder 4 abgebildet. Damit kann man die Ausprägung der Verzweigungen verändern.
• Farben: Hier kann man sehen welche Transformation welche Teile des Bildes "maßgeblich" beeinflusst (hat).
• Fraktal Parameter - A und b: Wie ein Punkt weiter abgebildet wird. Für Art und Weise der Trafo siehe eigene Erinnerung (affine Abbildungen) oder andere (Eigenwerte, Fixpunkte, Fixgraden, etc...). Bei nur kleinen Änderungen der Matrizen-Einträge (A) und Verschiebungen (b) ändert sich das 'Bild' gewaltig!!!!
• Basic Parameters: Auswahl des Koordinatenausschnitts in der Ebene.

Julia- und Mandelbrotmengen:

• Fraktale Parameter - Toleranz: Abbruchkriterium aufgrund der Periodizität der Folge z(n+1) = z(n)^2 + c. Je größer desto gröber!
• Fractal Parameters - Ortsparamter: Punkte ( jx | jy ) innerhalb der Mandelbrotmenge ergeben zusammenhängende Juliamengen und umgekehrt: Wo findet diese Julia-Menge statt?!
• Basic Parameters: siehe oben.
• Colors: siehe oben.

Aufeinander folgende Juliamengen lassen sich animieren (CPU >2GHz; RAM 512MB empfohlen):

• Im Menu Fraktale die Juliamenge wählen
• Im Menu Optionen das Sofort zeichnen aktivieren
• Bei den Fraktalen Parametern für die Ortsparameter wählt man
  • jx = 0,4
  • jy = 1,0
• Danach kann mit Hilfe der unteren Spinner-Taste der Parameter jy in Schritten von 0,01 von 1,0 bis -1,0 verändert werden.
  Dabei wird die komplexe Ebene von oben nach unten durchlaufen. Jeder Punkt, der zur Mandelbrotmenge gehört, ergibt eine
  zusammenhängende Juliamenge.
  Bezüglich jy = 0 gegenüberliegende Juliamengen sind spiegelsymmetrisch zueinander.
• Versuchen Sie das gleiche für jx = -1,25 oder jx = -0,75

Algorithmen

Fraktale lassen sich aufgrund verschiedner Algorithmen erzeugen.

1. Jeder Punkt einer gewählten Teilmenge der komplexen Ebene wird abgebildet. Eine Abbildungsvorschrift wird dabei so oft wiederholt (Iteration) bis bestimmte Abbruchbedingungen erfüllt sind. Anschließend findet die Darstellung aufgrund der letzten Iterationswerte statt:
   Die Einfärbung erfolgt anhand der Iterationszahl.
   1. Juliamenge:

      Abbildungsvorschrift	f(z) = z2 + j	Startwerte von z sind jeweils die Punkte der Teilmenge der komplexen Ebene
      		j ist der feste Ortsparameter der Juliamenge
      Abbruchbedingungen	z2 > 4	Der Abstand der Iterierten vom Ursprung ist größer als 2. (Betragsquadrat größer als 4.)
      	(f(z) - z)2 < tol	Der Abstand zweier aufeinander folgender Iterierter ist geringer als eine Toleranz tol

      
      
   2. Mandelbrotmenge

      Abbildungsvorschrift	f(z) = z2 + c	Startwerte von z sind jeweils die Punkte c der Teilmenge der komplexen Ebene
      Abbruchbedingungen	z2 > 4	Der Abstand der Iterierten vom Ursprung ist größer als 2. (Betragsquadrat größer als 4.)
      	(f(z) - z)2 < tol	Der Abstand zweier aufeinander folgender Iterierter ist geringer als eine Toleranz tol

      
      
2. Ein Punkt einer gewählten Teilmenge der komplexen Ebene wird wiederholt abgebildet. Dabei wird in jedem Schritt zufällig eine von mehreren möglichen Abbildungsvorschriften ausgewählt (sog. Chaos-Spiel). Als Abbildungsvorschriften sind bis jetzt nur affine Transformationen (lineare Abbildungen) der Form
   

   f(x) = A x + b =

   (

   a11 a12 a21 a22

   )

   (

   x1 x2

   )

   +

   (

   b1 b2

   )

   implementiert. Abbruchbedingung ist die maximale Iterationszahl und dargestellt wird die Spur der Abbildungsfolge.
   Die Einfärbung erfolgt augrund der zuletzt ausgelosten Abbildung(en).
   Daneben ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine der Transformationen 1...4 ausgewählt wird Gewichtet. Eine Veränderung der Gewichte beeinflusst damit die Ausprägung des Bildes, aber nicht die Form!

   1. Ahornblatt
      

      	A		b		Gewicht		Merkmal
      	0,64987 -0,01300 0,01300  0,64987		0,17500 0,00000		1		Blattmitte
      	0,64948 -0,02600 0,02600 0,64948		0,16500 0,32500		1		Blattspitzen
      	0,31820 -0,31820 0,31820 0,31820		0,20000 0,00000		1		"Linke" Seite
      	-0,31820 0,31820 0,31820 0,31820		0,80000 0,00000		1		"Rechte" Seite

      
      
   2. Farn
      

      	A		b		Gewicht		Merkmal
      	0,00000 0,00000 0,00000  0,17000		0,00000 0,00000		1		Blattansätze
      	0,84962 0,02550 -0,02550 0,84962		0,00000 3,00000		1		Blattspitzen
      	-0,15540 0,23500 0,19583 0,18648		0,00000 1,20000		1		"Linke" Seite
      	0,15540 -0,23500 0,19583 0,18648		0,00000 3,00000		1		"Rechte" Seite

      
      
   3. Kochsche Kurve
      

      	A		b		Gewicht		Merkmal
      	0,33333 0,00000 0,00000 0,33333		0,00000 0,00000		1		1.Segment
      	0,33333 0,00000 0,00000 0,33333		0,66666 0,00000		1		4.Segment
      	0,16667 -0,28867 0,28867 0,16667		0,33333 0,00000		1		2.Segment
      	-0,16667 0,28867 0,28867 0,16667		0,66666 0,00000		1		3.Segment

      
      
   4. Sierpinski
      

      	A		b		Gewicht		Beschreibung
      	0,5 0,0 0,0  0,5		0,0 0,0		1		Halbiere Abstand zur linken unteren Ecke
      	0,5 0,0 0,0  0,5		0,5 0,0		1		Halbiere Abstand zur rechten unteren Ecke
      	0,5 0,0 0,0  0,5		0,25000 0,43301		1		Halbiere Abstand zur oberen Ecke

      
      
   5. ??